MA371-Ch1

博主：枫亚
发布时间：2021 年 09 月 12 日
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# 1.1 Rappels et compléments

## 1.1.1 Mesure positive 测度

### Topologie sur un ensenble (tribu ouvert)

$\Omega$：集合

**定义：** topologie sur $\Omega$

**标记：** $\mathcal {TO}$

**解释：** 集合的拓扑（$\Omega$的ouvert子集组成的集合，类似于tribu）

$\mathcal{TO}\subset \mathcal P (\Omega)$ （$\forall O \in \mathcal{TO}, O \subset \Omega$）

1. $\emptyset \in \mathcal{TO}, \Omega \in \mathcal {TO}$

2. $\mathcal{TO}$中元素（ouvert）**任意并稳定**。

3. $\mathcal{TO}$中元素（ouvert）**有限交稳定**。

### Tribu / $\sigma$-algèbre sur un ensemble
  
**定义：** tribu sur $\Omega$ / $\sigma$-algèbre sur $\Omega$

**标记：** $\mathcal T$

**解释：** 集合的一个Tribu（$\Omega$集合的子集组成的集合）

$\mathcal T \subset \mathcal P (\Omega)$（$\forall E \in \mathcal{T}, E \subset \Omega$）

1. $\mathcal T$中元素**补稳定**
   
2. $\mathcal T$中元素**dénombrable并稳定**

### Espace mesurable 可测空间

可测空间：$(\Omega, \mathcal T)$

### Partie mesurable 可测集

$\mathcal T$的子集均为可测集

### Tribu borélienne 博雷尔代数

对于$(\Omega, \mathcal{TO})$

**定义：** tribu borélienne

**标记：** $\mathcal{BO}(\Omega)$

**解释：** 包含$\Omega$中所有ouverts的最小tribu

例：

1. $\mathbb R$中所有开区间组成的tribu，即为$\mathcal{BO}(\mathbb{R})$
2. $\mathbb R^n$中所有boules ouvertes组成的tribu，即为$\mathcal{BO}(\mathbb{R}^n)$

### Tribu produit

对于$(\Omega_1, \mathcal T_1), (\Omega_2, \mathcal T_2)$两个可测空间，

**定义：** tribu produit

**标记：** $\mathcal T_1 \otimes \mathcal T_2$

**解释：** 是$\Omega_1\times \Omega_2$的tribu，包含所有可能的$\{{T}_{1}\times{T}_{2},\ {T}_{1}\in{\cal T}_{1}\ \mathrm{et}\ {T}_{2}\in{\cal T}_{2}\}$

</div>

# 学期要求

Ingénieur需要inventer，所以要学这么多奇奇怪怪的数学证明和定理

Technicien需要appliquer，所以学的大部分是应用、技巧之类的东西

要Travailler tous les jours，养成好习惯。

# Chapitre 1 Intégrabilité et intégrale à paramètres

## 0. Introduction

Intégration selon Riemann解决Continue Par Morceaux(CPM)函数的积分问题

这章节解决非CPM函数的积分问题。

例： $\int_0^1 {1}_\mathbb Q (t)\mathrm{d}t=?$

## 1. Espace mesurés

### Tribu $\mathcal T$

最大的tribu是$\mathcal P (\Omega)$，最小的Tribu是$\{\emptyset, \Omega\}$

tribu中集合补集也在tribu中

tribu中集合可数并也在tribu中（即，可数交也在tribu中，因为交为补的并的补。）

一般来说见到的tribu应该都是$\mathcal P (\Omega)$。

### Ensemble mesurable $(\Omega, \mathcal T)$

集合配tribu就形成了ensemble mesurable.

$(\Omega, \mathcal T)$

### Parties mesurables

tribu的元素均为可测集parties mesurables。

### Tribu borélienne $BO(\Omega)$

最小的，包含$\Omega$中所有boules ouverts的，集合的集合。

记为$BO(\Omega)$

注意：

1. $\{x\}\in BO(\mathbb R)$，因为x的补集是一个开区间的并。
2. $\mathbb Q\in BO(\mathbb R)$，因为是很多个x的可数并。
3. $[0,1]\cap \mathbb Q\in BO(\mathbb R)$，因为$\mathbb Q$的补和$[0,1]$的补都在$BO(\mathbb R)$中.
4. $BO(\mathbb R^n)$包含所有pavés，例如ouvert长方形（R2中），ouvert长方体（R3中）……

注意：$BO(\mathbb R)$不是$\mathcal P(\mathbb R)$。

$\mathbb R$中存在Lebesgue不可测子集，这些子集的测度需要额外的定义。（Cf. TD）

</div>

### Mesure positive $\mu$

mesure positive sur $\Omega$ : $\mu$, une application positive

1. $\mu(\emptyset) = 0$
2. $\mu(\cup A_n) = \Sigma \mu(A_n)$ quand $A_n$ 2 à 2 disjoints.

#### Formulaire de $\mu$

1. $A\subset B\Rightarrow \mu(A)\leq\mu(B)$
2. $\mu(A\cup B) = \mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)$
3. Limite décroissante
4. Limite croissante
5. Sous-additivité : $\mu(\cup A_n) \leq \Sigma \mu(A_n)$

**Limite croissante**:

$\forall n, A_n\subset A_{n+1} \Rightarrow \mu(\cup A_n) = \lim_{+\infty}\mu(A_n) = \mathrm{(notation)}\ \lim_{+\infty}\uparrow\mu(A_n)$

</div>

### Espace mesuré $(\Omega, \mathcal T, \mu)$

(集合，Tribu，mesure) 组成espace mesuré。

### La mesure de Lebesgue $\lambda$

$\lambda:BO(\mathbb R) \rightarrow 正值$，

是mesure，符合以下规律：

$\forall a<b \in \mathbb R^2, a<b, \lambda(]a,b[)=b-a$

注：

1. $\{x\}\in BO(\mathbb R), \lambda(\{x\})=0$（用极限↓逼近）
2. $\lambda(\mathbb Q\cap [0, 1])=\Sigma \lambda(\{x\})=\Sigma 0=0$
3. $\lambda([0, 1]\cap \mathbb R\backslash \mathbb Q) = 1$
4. $\int_0^11_\mathbb Q \mathrm d \lambda = 1\cdot \lambda([0,1]\cap \mathbb Q) + 0 \cdot\lambda([0,1]\cap \mathbb R \backslash \mathbb Q) = 0$

### La mesure de comptage $\mathrm {Card}$

在$(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))$中表现为$\mathrm {Card}$函数。

### Volume d'un pavé

在$(\mathbb R^n, BO(\mathbb R^n))$中，

$\lambda(]a_1, b_1[\times \dots \times ]a_n, b_n[) = \Pi_1^n (b_k-a_k)$

### Ensemble $\mu$-négligéable

对于$(\Omega, \mathcal T, \mu)$，$B\subset \Omega$，

称B为$\mu$-négligéable，当：

存在$A\in \mathcal T $ 使得 $ B\subset A , \mu(A) = 0$

注意这里$B$是$\Omega$中的子集，而$A$是所给定的Tribu（$\mathcal T$）中的一个集合元素。

</div>

$\mathbb Q$ est un ensemble $\lambda$-négligéable de $\mathbb R$.

</div>

### Tribu $\mu$-complétée

Tribu $\mu$-complétée de $\mathcal T$:

$\mathcal T^* = \{A\cup B, A\in \mathcal T, B\subset \Omega, B\ \mu\mathrm{-négligéable}\}$

$\mu$ se prolonge à $\mathcal T^*$：

$\forall  A\in \mathcal T, \forall B\subset \Omega, B\ \mu\mathrm{-négligéable}$（即$A\cup B \in \mathcal T^*$）$\Rightarrow \mu(A\cup B) = \mu(A)$

最后修改：2021 年 09 月 12 日

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ssf
看不到内容啊。
潜龙于渊
完美解决问题！感谢大佬！
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感谢，配置成功
WetABQ
啊这（那可能，可能... 可能不是吧我是因为 Gyrojeff...
WetABQ
ADHD 大概率下是被迫的，几乎任何情况下都无法集中精力「对于...

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